[Linear Algebra] Eigenvalue 간단하게 알아보기 2편!!

고윳값(Eigenvalues), 고유벡터(Eigenvectors)를 구하는 방법에 대해서 알아보자

 

다음은 동치관계이다.

1. $\lambda$ : 행렬 $A$의 고윳값

2. $A-\lambda I$ 는 singular

3. $\det{(A-\lambda I)} = 0 $ : eigenvalues를 구하기위한 equation으로 특성다항식('characteristic polynomial')이라 부르며 오직 $\lambda$ 에 대한 식이다.

 

이를 바탕으로 각 $\lambda$에 대해서 $(A-\lambda I)x = 0 $을 풀어서 eigenvector $x$를 구하면 된다.

 

예제를 통해 확인해보자

 

singular $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ 에서 $\lambda, x $ 를 구하기

 

$$ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 4 - \lambda \end{bmatrix} $$

$$ \det{\begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 4 - \lambda \end{bmatrix}} = (1 - \lambda ) ( 4 - \lambda ) = \lambda^2 - 5\lambda = 0$$

$$ \lambda = 0, 5 $$

 

1. $\lambda_1 = 0 $

$$ Ax_1 = 0, \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

$$ x_1 + 2x_2 = 0, \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} $$

 

2. $\lambda_2 = 5 $

$$ Ax_2 = 5x_2, \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5x_1 \\ 5x_2 \end{bmatrix} $$

$$ x_1+2x_2 = 5x_1, 2x_1 + 4x_2 = 5x_2 → x_2 = 2x_1, 2x_1 = x_2 $$ 

$$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

 

정리해보면 다음 3개의 스텝으로 고윳값 문제를 풀 수 있다.

1. $\det (A - \lambda I) $ 을 계산 

2. $ \det (A - \lambda I) = 0 $ 을 통해 근을 구하면 degree n이므로 $A$의 eigenvalues도 n개이므로 n개의 eigenvalues를 구하기

3. 각 eigenvalue $\lambda$에 대해서 $ (A-\lambda I)x = 0 $ 을 풀어 eigenvector를 구하기